用二分法解一元高次方程的单根（用两种语言描述的：C语言和Matlab语言）

题目：用二分法求f(x)=x^3+x^2-3*x-3=0的正根（精度要求精确到1E-3）。

（1）分析结果的正确性。

（2）进一步考虑如何求出所有根。

算法分析：

(1)分析题目要求，由于方程是一元三次方程。所以方程应该存在三个根，由于题目要求只求正根，所以下面在用二分法之前应先给定一个正区间。

（2）令f=x^3+x^2-3*x-3,并给定：区间[a,b]，其中a>=0，且要保证f(a)*f(b)<0.

（3）这里首先令x1=a,x2=b,先给x一个初值为(（x1+x2）/2),判断f（（x1+x2）/2）即f(x)的正、负。

若为负数即f(x)<0,则把（（x1+x2）/2）赋给x1(或x2),即新区间的左(或右)端点；

若为正数即f(x)>0,则把（（x1+x2）/2）赋给x2(或x1)，即新区间的右（或左）端点；

若为零即f(x)==0,则找到方程的根。

此步骤的原则是使新区间始终保证f(x1)*f(x2)<0。

在此题中由于经过判断知：f=x^3+x^2-3*x-3的一阶导在[1.0,2.0]上大于0，即f=x^3+x^2-3*x-3在[1.0,2.0]上单调增加。又因为此题中f(1)<0,f(2)>0,所以在没找到零点之前，这里的判断条件可以简化为判断区间中左、右端点的正负。与f(a)*f(b)<0的作用相同。

（4）重复步骤（3），直到找到方程的根，或者达到给定精度！则循环停止，这时的x值即为方程的近似值。

C语言实现代码如下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define f(x) (x*x*x+x*x-3*x-3)
main()
{
	float x,x1,x2;
	int t;
	t=0;
	x=0.0;
	x1=0.0;
	x2=10.0;
	while(fabs(x1-x2)>1e-3)
	{
		t++;
		x=(x1+x2)/2.0;
		if(f(x)<0.0)
		{
			x1=x;
			printf("x1=%f  ",x1);
		}
		else
			if(f(x)>0.0)
			{
				x2=x;
				printf("x2=%f  ",x2);
			}
			else
				if(f(x)==0.0)
					break;
	}
	x=(x1+x2)/2.0;
	printf("\n\nx=%f\n",x);
	printf("The loop number t=%d\n",t);
}

Matlab代码如下（two_cut.m脚本文件的内容为）：

f=inline('x^3+x^2-3*x-3') 
%把f=x^3+x^2-3*x-3设定为内嵌函数 
x1=1.0,x2=2.0 
%给定区间[a,b]即[x1,x2]一个初值，这里为[1.0,2.0].
err=1e-3;  
%给出精度为1E-3。
k=0;  
%k为一个计数变量，为了统计符合精度时，二分的循环次数。给初值0.
while abs(x1-x2)>err; 
%二分循环的结束条件，最后一次的解变量与倒数第二次的解变量
%的差的绝对值，比精度err小时，则循环结束，否则，循环继续。
    x=(x1+x2)/2; 
%给方程的解变量赋一个初值，为区间的中点。
    k=k+1; 
%循环一次k自加1.
    format long  
%对从此行一下的变量进行长精度格式化。
    x
%这里的x的作用是，显示每次循环时二分之后的当前x的值。
    if(f(x)<0)
    %若为负数即f(x)<0,则把（（x1+x2）/2）赋给x1,即新区间的左端点。
        x1=x;
    else
        if(f(x)>0)
%若为正数即f(x)>0,则把（（x1+x2）/2）赋给x2,即新区间的右端点。
            x2=x;
        else
            if(f(x)==0)
            %若为零即f(x)==0,则找到方程的根。
            end
        end
    end
end
x 
%输出最终的解x
k 
%输出二分法的循环次数

在Matlab的命令行中输入（因为我的程序文件保存为：two_cut.m脚本文件）：

>>two_cut

f=Inline function:

f(x)= x^3+x^2-3*x-3

x1=1

x2=2

x=1.500000000000000

x=1.750000000000000

x=1.625000000000000

x=1.687500000000000

x=1.718750000000000

x=1.734375000000000

x=1.726562500000000

x=1.730468750000000

x=1.732421875000000

x=1.731445312500000

x=1.731445312500000

k=10

结果分析：

在Matlab的命令行中输入：

>>format long

>>sqrt(3)

ans=1.732050807568877

在与用二分法所求的结果分析可知，有一定误差。通过k的值可知此程序在给定的区间上循

环了10次，经分析发现：用二分法解方程，其方法有以下缺点：收敛速度不快，无法求偶

重根，也无法求复根。

这里进一步分析如何求此方程的所有根：因为此方程是一元三次方程f=x^3+x^2-3*x-3=0，

所以理论上它有三个根。如果任用二分法求出它的其余两个根，那么我们应首先估算这两

根在数轴上的大概位置，然后给定合理的区间，再用二分继续处理。

这里在在Matlab的命令行中输入，并运行：

>>x=-2:0.001:2;

>>y=x.^3+x.^2-3*x-3;

>>plot(x,y)

>>grid on

可得到下图：

通过上图可知，另外两个根在[-2.0,-1.5]与[-1.5,-0.5]区间上，可继续用二分法求出。

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